MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA IĐÊAN TRONG ĐẠI SỐ GIAO HOÁN VÀ TỔ HỢP

Các iđêan là một trong những đối tượng nghiên cứu chính trong đại số giao hoán và hình học đại số. Để nghiên cứu cấu trúc của các iđêan các nhà nghiên cứu đưa ra hàng loạt các bất biến liên kết với chúng. Với một iđêan bất kỳ, những bất biến sau đóng vai trò quan trọng bậc nhất trong cấu trúc của chúng: hàm Hilbert, số chiều, số bội, độ sâu, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford (gọi tắt là chỉ số chính quy). Với các iđêan đơn thức thì độ sâu Stanley và độ sâu Hilbert cũng đóng một vai trò quan trọng, và có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học. Thêm vào đó, tính tiệm cận của các bất biến nói trên đối với một hệ các iđêan (như hệ các lũy thừa, lũy thừa hình thức, lũy thừa kiểu Frobenius) đang là một trong những vấn đề trọng tâm trong đại số giao hoán và hình học đại số. Chúng tôi tập trung nghiên cứu những bất biến trên cho một số lớp iđêan bao gồm các iđêan định thức, đơn thức, nhị thức. Từ việc nghiên cứu những bất biến đó chúng tôi đưa ra những tính chất đại số cho vành thương của các iđêan đó, như tính Cohen-Macaulay, Gorenstein, Buchsbaum, hay tính Koszul. Đây là những nội dung quan trọng trong đại số giao hoán. Một số vấn đề còn rất mới và thời sự. Chúng tôi tin tưởng rằng những nghiên cứu của chúng tôi sẽ đóng một vai trò quan trọng cho sự phát triển của đại số giao hoán và tổ hợp, đồng thời đưa ra những kết quả và ứng dụng đẹp trong hình học đại số, tổ hợp, độ phức tạp tính toán, đại số máy tính.

 Các mục đích chính của nghiên cứu bao gồm: 

  • Chỉ số chính quy của các lũy thừa và lũy thừa hình thức của các iđêan định thức của các ma trận tổng quát, đối xứng, Hankel, Hankel mở rộng.
  • Chỉ số chính quy của các lũy thừa và lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức ứng với một số phức đơn hình đặc biệt.
  • Độ sâu Stanley, Hilbert và tính tiệm cận của chúng với các iđêan đơn thức.
  • Số chiều của các đa tạp cát tuyến của các đa tạp Segre-Veronese.
  • Chỉ số chính quy của các vành xuyến và giả thuyết Eisenbud-Goto.
  • Ứng dụng các kết quả sang lĩnh lực hình học đại số, đại số máy tính.

 


Đánh giá bài viết


Xem thêm